Matemática Viva – Ideias para reflexões – 02

A vontade é uma força propulsora para que algo seja realizado. É esta força que possibilita o ser humano agir espontaneamente quando o que ele tem que fazer faz sentido para ele. Portanto, toda contribuição que mostra a aplicação e a importância da matemática no cotidiano, beneficia o estudo desta ciência e, consequentemente, a sociedade.

Para reflexões, veja algumas ideias:

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Este balanço fecha com prejuízo. É um péssimo investimento:

"Uma vez perguntaram a um sábio (dizem ter sido a Confúcio): "O que o surpreende mais na humanidade?" O sábio respondeu: "Os homens perdem a saúde para juntar dinheiro e depois perdem o dinheiro para recuperá-la. Por pensarem ansiosamente no futuro, esquecem o presente, de tal forma que acabam por não viver no presente nem no futuro. Vivem como se nunca fossem morrer e morrem como se não tivessem vivido..." (adaptação de um pensamento)

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Isto me faz lembrar grandezas inversamente proporcionais:

"Num mundo em que poucos ganham, há muitos perdedores." (Nelson MS)

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A Teoria dos Erros mostra que toda medida é acompanhada por um erro. E assim é tudo na vida. Cada ação (medir comprimento, pesar, interpretar atitudes e palavras, agir para solucionar problemas, ...) tem um erro associado. O que temos que fazer é agir para diminuir esse erro. Ah! Esta revelação nos faz pensar sobre tolerância e abuso.

"Se você quer os acertos, esteja preparado para os erros." (atrib. A Carl Yastrzemski)

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Um dos objetivos dos gráficos usados nas ciências é observar os padrões de fenômenos. Nestes gráficos, além de ser possível compreender tais padrões é possível retirar dados por interpolação e por extrapolação.

"A compreensão de padrões nos permite fazer algumas previsões com razoáveis chances de acerto." (Nelson MS)

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Quando pessoas interagem para desenvolver ideias, o ganho delas é uma função que tem crescimento superior se comparada a uma função para o caso de pessoas isoladas e que buscam o mesmo tipo de desenvolvimento.

"Se você tem uma laranja e troca com outra pessoa que também tem uma laranja, cada uma fica com uma laranja. Mas se você tem uma ideia e troca com outra pessoa que também tem uma ideia, cada uma fica com duas." (atrib. a Confúcio)

"Se enxerguei mais longe foi porque me apoiei em ombros de gigantes." (atrib. a Isaac Newton)

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Provavelmente esta ideia será aceita:

"Os problemas mais importantes da vida são, em sua maioria, apenas problemas de probabilidade." (atrib. a Laplace)

Pensar equivale a abandonar um marco de segurança e vê-se lançado numa corrente de possibilidades. (atrib. a Pichon-Rivière)

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A linguagem foi bem escolhida:

"O Livro da Natureza está escrito em linguagem matemática." (atrib. a Galileu Galilei)

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Matemática Viva – Ideias para reflexões – 01

Quando uma pessoa consegue compreender formas de aplicar no cotidiano a matemática estudada, pode-se dizer que a matemática é viva para ela. Quando ela não consegue aplicá-la...

Para reflexões, veja algumas ideias:

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Uma das atribuições da matemática é ser uma ferramenta utilizada pelo ser humano para descrever e compreender fenômenos:

"Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real." (atrib. a Lobachevsky)

"À medida que se conhece mais a Matemática, percebe-se a estreita ligação dela com os fatos da vida." (Nelson MS)

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A vida é muito mais do que podemos "enxergar" com nossas capacidades de raciocinar e de sentir.

"Com pontos (adimensionais), forma-se uma reta (monodimensional). Com retas, forma-se um plano (bidimensional). Com planos, forma-se uma figura espacial (tridimensional). Com figuras espaciais..." (Nelson MS)

"Há mais mistérios entre o céu e a terra que a vã filosofia desconhece." (atrib. a Shakespeare)

"Muito débil é a razão se não chega a entender que há muitas coisas que a ultrapassam." (Pascal)

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Um alento para o ser humano:

"Nas equações da natureza não existe conjunto solução vazio. Todo problema tem solução." (Nelson MS)

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Olhar matemático e linguagem matemática:

Para compreender a matemática é necessário ter um olhar matemático; é necessário entender que a matemática tem uma linguagem e que é preciso conhecê-la.

"A compreensão de uma ciência, assim como apreciar uma boa música, requer em certa medida processos mentais idênticos." (atrib. a Albert Einstein)

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C'est la vie: Teoria dos Erros e Probabilidade. É a vida.

"Quando não está em nosso poder seguir o que é verdadeiro, deveríamos seguir o que é mais provável". (atrib. a René Descartes)

"Os problemas mais importantes da vida são, em sua maioria, apenas problemas de probabilidade." (atrib. a Laplace)

"Avalia-se a sabedoria de um indivíduo pelo número de incertezas que ele é capaz de suportar" (adaptação de um pensamento atrib. a Kant)

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Neste tipo de operação de compra e venda, vendedor e comprador têm prejuízo (o preço é baixo e o produto está com defeito):

"Uma sociedade só é democrática quando ninguém for tão rico que possa comprar alguém e ninguém seja tão pobre que tenha de se vender a alguém." (atrib. a Jean-Jacques Rousseau)

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Durante a vida, passamos por diversas situações parecidas e agimos, em cada uma delas, em linhas gerais, de forma semelhante. Assim revelamos alguns de nossos hábitos. Uma aplicação de média e curva de Gauss:

"Somos o que fazemos repetidamente. Por isso o mérito não está na ação e sim no hábito." (atrib. a Aristóteles)

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Matemática não é bicho-papão

"O medo perturba os sentidos e faz com que as coisas não pareçam o que são." (atrib. a Miguel de Cervantes em 'Dom Quixote de la Mancha')

Existem coisas que parecem ser complicadas, mas não são. Tudo não passa de impressões equivocadas.

Veja a operação matemática a seguir:


Há quem diga que não sabe como resolvê-la. Mas sabe!

Se ela te assusta, não te assustes não; é simples.

Provavelmente muitos sabem a resposta, embora pensem que não. Para sair deste impasse use a barra de rolagem para ver a resposta.

E então: sabia a resposta, ou não? Acho pouco provável que a maioria não saiba resolver esta operação.

Muitos são os motivos que levam as pessoas a declarar que não gostam de matemática e que ela é uma ciência para uns poucos compreenderem. Um destes motivos é o medo, já estabelecido como senso comum, originado de ideias preconcebidas com frágil, ou nenhum, embasamento. Ideias que podem ser desfeitas com reflexões mais cuidadosas sobre esta situação e sobre coisas correlatas.

O caso acima é só uma adição semelhante a:

3 bananas + 2 bananas = 5 bananas

Como a parte irracional é de leitura trabalhosa (raiz de índice 45 na qual o produto de a à 21ª potência e b à 17ª potência é dividido por c à 19ª potência), para simplificar, pode-se utilizar o artifício de chamar a parte irracional de "alguma coisa". Então:

3 "alguma coisa" + 2 "alguma coisa" = 5 "alguma coisa"

Portanto, é suficiente conhecer as noções de adição e saber que nelas, adições típicas as dos exemplos (banana com banana, maçã com maçã, raiz...) não têm complicação; é simples assim!

"Conhecimento é antídoto contra o medo." (atrib. a Ralph Waldo Emerson)

Pense nisso!


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Problemas têm solução – Matemática e Vida

"Nas equações da natureza não existe conjunto solução vazio. Todo problema tem solução." (Nelson MS)

Problemas do dia a dia não terão solução se assim acreditarmos. Mas a nossa crença sobre isso pode ser diferente, basta que façamos uma análise com o foco em alguns conceitos sobre equações.

Com a intenção de facilitar o entendimento do objetivo da linguagem utilizada neste post, é apresentado este fragmento de texto. Ele foi retirado de um parágrafo escrito por Pietro Ubaldi. "Em outro lugar e de outra forma, falei especialmente ao coração, usando linguagem simples, [...] Aqui falo à inteligência, à razão cética, à ciência, [...] A palavra doce que atrai e arrasta, porque comove, foi dita. Indico-vos agora a mesma meta, mas por outros caminhos, feitos de ousadias e potência de pensamento,..." (Pietro Ubaldi)

Conjunto Universo: É nele que estão as "ferramentas" que temos à nossa disposição para solucionar problemas.

Conjunto Solução: É o conjunto com a(s) solução(soluções) do problema. Se não houver solução (a ferramenta necessária no conjunto universo), este conjunto é dito vazio.

Para fixar pregos em peças de madeira (o problema) é necessário que haja martelo na caixa de ferramentas (Conjunto Universo). Se na caixa de ferramentas tiver martelo, o Conjunto Solução será martelo. Caso não haja esta ferramenta, o Conjunto Solução será vazio, ou seja, não há solução.

Agora será feita uma analogia entre alguns conjuntos numéricos e o conhecimento desenvolvido por uma pessoa para resolver os problemas do cotidiano.

Considere a equação: x – 2/3 = 0

O valor de x para essa equação é + 2/3. O Conjunto Solução dependerá do Conjunto Universo (veja o esquema a seguir).


Como mostrado anteriormente no esquema, não haverá solução para o problema se o Conjunto Universo for o Conjunto dos Números Naturais ou o Conjunto dos Números Inteiros. Neste caso, o Conjunto Solução será vazio, ou seja S={}, pois o número +2/3 não pertence aos conjuntos numéricos citados neste parágrafo.

Se o Conjunto Universo for o Conjunto dos Números Racionais ou o Conjunto dos Números Reais, o Conjunto Solução será S={+2/3}, pois o número +2/3 pertence a estes conjuntos numéricos.

"Os fatos não deixam de existir só por serem ignorados." (J. Sádaba)

Voltando à analogia entre os conhecimentos e os conjuntos numéricos, é possível observar que os conhecimentos podem ser os mais simples - com menos "ferramentas" - assim como o Conjunto dos Números Naturais, ou podem ser aqueles com mais "ferramentas", como o Conjunto dos Números Reais.

Pode-se dizer que à medida que desenvolvemos mais conhecimentos, e estes forem mais qualificados, nossa visão se amplia e assim, temos maior probabilidade de encontrar soluções para os problemas.


Soluções para os problemas sempre existirão, são várias as opções. Algumas podem nos agradar, outras não. Algumas poderemos "enxergar", outras não. "Enxergar" a solução, ou não, depende do conhecimento que conseguimos desenvolver.

"O olho vê somente o que a mente está preparada para compreender." (atrib. a Henri Bergson)

Isso é Matemática Viva. Pense nisso!


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A partilha dos 35 camelos – Conhecimento e sabedoria

Malba Tahan narra, no capítulo III do livro O Homem que Calculava, a história na qual Beremiz Samir – personagem conhecido como o homem que calculava – resolveu o problema da partilha de 35 camelos entre três irmãos conforme a vontade do pai deles.

Nesta história é possível observar detalhes interessantes ligados à Matemática, além de detalhes de grande importância sobre as relações interpessoais, ou seja, as relações humanas.


Veja o vídeo com a história:



O Homem que Calculava (livro em pdf) - para fazer o download, clique aqui!


Tratamento dos aspectos matemáticos desta história

A narrativa mostra que os irmãos receberam 35 camelos de herança. Entende-se que alguém ao receber uma herança tem direito à sua totalidade (excluindo, é claro, os impostos – era necessário lembrar isso). Porém, com um olhar mais apurado, é possível concluir que a herança não era de 35 camelos, porque que a soma das partes definidas pelo pai para cada filho (1/2 + 1/3 + 1/9), não é igual a 1 (18/18, dezoito dezoito avos), mas igual a 17/18 (dezessete dezoito avos). Sendo assim, sobra 1/18 (um dezoito avos) que não pertence a nenhum dos filhos. Em verdade, a herança é de 17/18 (dezessete dezoito avos) de 35 camelos, o que corresponde a 33,0555... camelos (camelos vivos não podem ser divididos desta forma).

Em tópicos, para facilitar o entendimento:

35 camelos

1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18

18/18 – 17/18 = 1/18

1/2 de 35 camelos = 17,5 camelos

1/3 de 35 camelos = 11,666... camelos

1/9 de 35 camelos = 3,888... camelos

17/18 de 35 camelos = 33,0555... camelos devem ser partilhados entre os irmãos. Pode ser visto, então, que o pai definiu que deveriam ser partilhados 33,0555... camelos e não os 35.

1/18 de 35 camelos = 1,9444... camelo: esta quantidade não consta na partilha definida pelo pai.

Após Beremiz juntar o camelo que o trazia com seu amigo, aos camelos que estavam com os irmãos, o total passou a ser de 36 camelos. A partir daí, a divisão começou a ser feita:

1/2 de 36 camelos = 18 camelos (0,5 a mais que 17,5 que cabia a ele, o primeiro filho – lucrou 2,86% com esta partilha) - cálculo: (18, 0 – 17,5)x100/17,5 = 2,86%)

1/3 de 36 camelos = 12 camelos (0,3444... a mais que 11,666... que cabia a ele, o segundo filho – lucrou 2,86% com esta partilha)

1/9 de 36 camelos = 4 camelos (0,111... a mais que 3,888... que cabia a ele, o terceiro filho – lucrou 2,86% com esta partilha)

O total de camelos de camelos que coube aos irmãos é 34 (18 + 12 + 4). Maior que 33,0555... que foi definido pelo pai.

Sobraram, então, 2 camelos (36 – 34 = 2). Um destes foi devolvido àquele que o emprestou para que a quantidade de camelos fosse 36. O outro ficou para Beremiz, por este ter solucionado o problema da partilha.

Fim do tratamento dos aspectos matemáticos.


Tratamento dos aspectos de relações humanas desta história

Toda parábola passa mensagens e esta história não foge à regra. É possível observar que a mensagem está na solução posta em prática por Beremiz. Tal solução corresponde à situação conhecida como jogo de soma não zero em que todos ganham, descrita na Teoria dos Jogos (referências desta teoria: Uma Mente Brilhante - o filme; John Nash; John von Neumann; modelagem matemática do comportamento humano, do comportamento econômico).

Todos os envolvidos nesta relação – os três irmãos, Beremiz e seu amigo – lucraram com a sábia solução. Cada um dos três irmãos lucrou 2,86% em quantidade de camelos. Beremiz passou a poder viajar num camelo só dele. O amigo de Beremiz não precisou dividir o seu camelo na viagem e, sendo assim, esta passou a ser feita de forma mais confortável pelos dois viajantes. Estes foram os lucros mais evidentes.

O impasse da partilha – que ocorreu antes da chegada de Beremiz – se deu pela ganância dos irmãos. Nenhum deles estava disposto a ter lucro menor do que os outros dois. Os 35 camelos poderiam ter sido partilhados com valores próximos aos definidos pelo pai deles. Para isto, o primeiro filho ficaria com 18 camelos (lucro de 2,86%), o segundo com 12 camelos (lucro de 2,86%) e o terceiro ficaria com 5 camelos (lucro de 28,6%). A divisão seria feita com lucro para todos e não envolveria outras pessoas. Mas o terceiro filho teria lucro superior aos demais, tanto no valor absoluto quanto no valor relativo. Claro que esta é uma história fictícia, mas este é um fato – a ganância – que ocorre com frequência nas relações humanas e por muitos pensarem desta forma, o desenvolvimento humano não prospera como poderia prosperar.

Há espaço para a pergunta: o que custaria aos dois irmãos que teriam a receber, cada um, respectivamente, 18 e 12 camelos nas duas formas de partilha, permitir que o outro irmão recebesse 5 e não 4 na segunda forma? Ah! Claro que os detalhes do contexto são importantes, e não menos, se transferíssemos esta história fictícia para uma situação real. Mas em linhas gerais...


Ideias afins:

Divisão
Dízima periódica (simples e composta)
Adição e subtração de frações e de números decimais
Multiplicação com frações
Valor absoluto
Valor relativo

Escola Viva
Partilha
Ganância
Egoísmo
Altruísmo
Jogos de soma zero (Teoria dos Jogos)
Jogos de soma não zero em que todos ganham (Teoria dos Jogos)


Veja mais informações em:

Malba Tahan (Wikipédia)

O Homem que Calculava (Wikipédia)


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Escola Viva

Razão e Sensibilidade - Razão e Sentimentos

Empatia

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Fragmentos Literários – Matemática Divertida e Curiosa

Um livro escrito pelo Prof. Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan) que nos traz curiosidades dos números e de suas operações, frases e personagens ligados à matemática, histórias interessantes e atividades lúdicas.

Vale a leitura do livro !

A seguir alguns fragmentos do livro Matemática Divertida e Curiosa, escrito pelo Prof. Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan):

- Criaturas fenomenais :
“O escritor francês Alphonse Daudet, no seu livro Tartarin de Tarascon (p. 186) conta-nos de que destacamos o seguinte passo : ´Atrás do camelo quatro mil árabes corriam, pés nus, gesticulando, rindo como loucos e fazendo rebrilhar ao sol seiscentos mil dentes mui alvos`.

Uma simples divisão de números inteiros nos mostra que Daudet, cuja vivacidade de espírito é inconfundível, atribuiu um total de 150 dentes para cada árabe, transformando os quatro mil perseguidores em criaturas fenomenais”.


Mais Informação :
Dentes – Só Bilogia


- As potências de 11 :
“As potências inteiras de 11 não deixam de chamar a nossa atenção e podem ser incluídas entre os produtos curiosos.”

11 x 11 = 121
11 x 11 x 11 = 1331
11 x 11 x 11 x 11 = 14641


Livro : Matemática Divertida e Curiosa – Malba Tahan – Editora Record – Rio de Janeiro - 1997

Boa Leitura !


Ideias Afins :

- Literatura
- Leitura
- Livro
- Educação
- Matemática


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Sala de Leitura

Fragmentos Literários


Mais Informações :

Malba Tahan (Wikipedia)

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Só Estudar 002 – Professor Toid e as Aulas em Vídeo

(Ferramentas que tornam a aprendizagem mais agradável)

Conheço, admiro e valorizo, desde o início de 2008, o trabalho que Prof. Toid realiza na internet através do Youtube e do seu blog. Por experiência própria, sei que este trabalho só é possível com muita dedicação por parte do Prof. Toid. Na sua página canal do Youtube, encontramos vídeos postados por ele que abrangem variadas áreas, como por exemplo : Ciências Biológicas, Química, História, Física, Geografia, Literatura, Matemática e Filosofia.

Considero os vídeos postados pelo Prof. Toid no Youtube, como ferramentas importantíssimas para auxiliar o processo de aprendizagem. Aliás, uma das vantagens das aulas em vídeo, é a possibilidade de o aluno rever a aula, ou parte dela, o número de vezes, e nos momentos, que ele puder e achar necessário.

http://www.youtube.com/user/ProfessorToid

http://www.professortoid.blogspot.com/



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Só Estudar

Aulas em Vídeo

Biologia

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Olhar Fractal - Um Primeiro Olhar

A série Olhar Fractal está sendo desenvolvida em módulos e apresentará estudos básicos sobre Fractais. Esses estudos mostrarão que através de um "olhar fractal" poderemos compreender muitos aspectos da vida.


Veja o vídeo Olhar Fractal - Um Primeiro Olhar

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Só Estudar 001

A internet nos possibilitar acessar diversos sites que podem ser utilizados para estudos e pesquisas. Aproveite a oportunidade !

Neste post são indicados alguns sites dedicados a esta tarefa. É só estudar !

Só Matemática

Só Português

Só Biologia

Só Geografia

Só Física

Só Língua Inglesa

Só Espanhol

Só Filosofia

Só Pedagogia

Nestes sites indicados (exceto no Só Geografia e no Só Espanhol), é necessário efetuar cadastro, que é gratuito e rápido. A confirmação deste é feita por e-mail. É fácil !

Bons estudos !

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